典型习题:(120314)曲面积分与高斯公式之流量计算

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 “曲面积分与高斯公式之流量计算”题型的求解思路以及相关的知识点：

一、曲面积分物理意义之流量的计算

当流速场为A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))时，则穿过指定方向了的曲面∑的流量可以表示为

其中n^o曲面上的单位法向量，dS=(dydz,dzdx,dxdy)，如果记单位法向量为n^o=(cosα,cosβ,cosγ)，则有

【注】其中dydz，dzdx，dxdy分别为dS在三个坐标面上的投影，因此它们是可正可负的，正负号由相应的方向余弦符号确定！

二、用高斯公式计算曲面积分的基本步骤

依据高斯公式对应的定理，有如下使用高斯公式计算对坐标的曲面积分计算步骤：

第一步：明确被积表达式中的P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)函数，dydz前面的是P(x,y,z)，dzdx前面的是Q(x,y,z)，dxdy前面的是R(x,y,z)；如果有负号，记得带上负号。

第二步：明确三个条件：封闭性，方向性和偏导连续性；如果不满足，通过添加辅助面构造条件，使计算的积分满足三个条件。

第三步：计算三个偏导数的和，即

并计算以它为被积函数，由封闭积分曲面（分片光滑的曲面构成的封闭曲面）所围立体区域上的三重积分。

第四步：如果积分正好满足高斯公式的条件，则三重积分即为所求结果。否则，需要考虑积分曲面的方向和计算添加的辅助面上的积分，并借助积分对积分曲面的可加性和积分曲面的方向对积分的计算的影响，计算得到最终需要的积分结果。

【注1】使用高斯公式的目标是提升计算的有效性，如果发现由三个偏导数的和构成的被积函数的三重积分不好计算，甚至根本无法计算，则该过程为无效过程，对于需要计算的曲面计算应该考虑其它方法执行计算，比如尝试使用直接计算法、转换为另一种形式的曲面积分来完成计算。

【注2】一般借助于高斯公式计算对坐标的曲面积分，同样也可以用于计算对面积的曲面积分，另外，也可以通过构造合适的P、Q、R函数，用曲面积分来计算三重积分。

三、三重积分的先一后二的“投影法”的基本步骤

以简单XY-型区域（或称为关于z轴的简单区域）为例。

简单的XY-型区域是指：在积分区域xOy面上投影区域内任取一点，做与z轴同向的直线穿过区域，下交点都在由同一个二元函数z=z₁(x,y)描述的曲面上，上交点都在由同一个二元函数z=z₂(x,y)描述的曲面上的立体区域。(参见该文最后列出的参见文章列表了解详细空间区域在直角坐标系下的分类与上下限确定方法)

基本步骤：

第一步：作出空间区域Ω的图形，将Ω投影到xOy平面上，得到投影区域D_xy，并对投影区域进行分类，写出明确的不等式描述形式:

第二步：确定关于变量z的积分限，并计算关于z的定积分．在投影区域D_xy上任取一点(x,y)，过(x,y)作平行于z轴的直线，该直线顺着z轴的方向从曲面S₁上点(x,y, z₁(x,y))处进入Ω，在曲面S₂上点(x,y, z₂(x,y))处离开Ω，得

计算关于z的定积分

第三步：对计算得到的结果，以D_xy为积分区域计算二重积分，得三重积分的值．

以上步骤用公式表示为：

特别地，对于立方体积分区域：

Ω={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,m≤z≤n},

有

四、三重积分先二后一的“截面法”的基本步骤

以先对x,y变量求二重积分，再对z变量求定积分为例（这种方法直接参考课件中列出的习题的解题过程）：

第一步：将Ω投影到z轴上，得z轴上的投影区间[a,b]；

第二步：过[a,b]上任意点z作垂直于z轴的平面，该平面与Ω的截面在xOy平面上的投影区域为D(z)．

第三步：在D(z)上借助二重积分的计算方法计算

其中z在这里为常数。

    第四步：对计算得到的结果在[a,b]上求定积分，即

【注1】对于直角坐标系下三重积分的计算，积分区域简单类型的确定非常关键，根据简单类型不等式的描述形式，就可以直接写出三重积分的累次积分表达式，从而通过定积分计算的方法计算得到三重积分的结果。

【注2】对于其中出现的先二后一与先一后二计算过程，对于考虑的二重积分我们可以根据积分区域选择二重积分的直角坐标计算方法，或者极坐标计算方法。

【注3】在具体的三重积分计算过程中，在考虑积分区域的分类之前，一般事先最好仔细考察三重积分的被积函数与积分区域的特点，如果发现积分区域整体，或者通过分割后的部分具有关于坐标面对称特征；并且被积函数整体，或者通过加减拆项后部分具有与区域对称性相匹配的变量的奇偶性时，则应该先考虑借助“偶倍奇零”的计算性质来简化计算过程；同样，如果积分区域关于x,y,z变量具有轮换对称性时，也可以考虑轮换对称性来化简积分计算。